摘要： 使用减一技术生成N个自然数的排列及N个数的集合的幂集。
难度： 初级
减一技术，与二分搜索一样，是一种通用算法设计技术。它是分治法的一种特殊形式，通过建立问题实例P(n) 与问题实例P(n-1)的递推求解关系式而实现；最经典的例子莫过于插入排序了。这里，给出减一技术在生成排列组合方面的应用。
（一） 排列问题： 生成自然数 1,2,,,,,n 的所有排列。
算法描述：
使用减一技术，建立自然数12…n的排列与12…n-1的递推关系。假设 P（n-1） 是 自然数 12…n-1的所有排列 p1, p2,…, p(m)的集合，则P(n)通过如下方式得到： 对所有排列p1, p2, … , p(m) ， 将 n 插入到 这些排列的 n 个位置上，得到的所有排列。 例如 12的排列为 12, 21, 则123的排列通过如下方式得到： 1. 将3插入到12中，得到 312，132,123；2. 将3 插入到21中，得到 321, 231, 213. 通过小例子往往能够为问题的求解指明道路。
“最小变化”要求： 有时，要求生成的所有排列中，相邻排列只有两个相邻位置不同。比如1234和1324是满足的，而1234和1432则不满足。上述方法生成的排列 312, 132,123, 321, 231,213 ， 123和321就不满足这个要求。解决方案是，当对排列pi采用从左往右插入完成时，对相邻排列pi+1采用从右往左插入。比如1中将3插入排列12是从左往右插入；则2中应该将3从右往左插入，得到213,231,321，这样，与前面的312,132,123就满足最小变化要求了。
详细设计：
1、 输入： 自然数 n
2、 输出： 所有排列的集合，每个排列用一个链表来表示（考虑到插入操作）； 所有排列用链表的可变列表（ArrayList）来表示。之所以采用这样的方式，考虑到之后可能要取出排列进行求解，比如分配问题。代价是空间效率很低。
3、 数据结构： 使用队列来存储 n-1 的所有排列； 然后取出队列中的每个元素， 将 n 插入到其中，得到 n 的一个排列。
package algorithm.permutation;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Iterator;
import java.util.LinkedList;
/**
* Permutation:
* Generate all the permutations of a given number.
*
* 生成 n 个数 的全排列。
*
*/
public class Permutation {
/**
* 每一个排列使用一个 LinkedList<Integer> 来存储,
* 使用 LinkedList<Integer> 的 列表来存储所有的排列
*
*/
private ArrayList<LinkedList<Integer>> perms;
/**
* 使用 flag 作为交替 从左往右 和 从右往左 扫描的 标志
* 这样，可以实现排列“最小变化”的要求。
* 即：每相邻的两个排列，只有两个相邻位置的不同。
*
*/
private int flag = 1;
/** 构造器 */
public Permutation() {
if (perms == null)
perms = new ArrayList<LinkedList<Integer>>();
}
/** 生成 n 个数的全排列，并存储在 perms 中 */
private void createPerm(int n) {
if (n <= 0)
throw new IllegalArgumentException();
if (n == 1) {
LinkedList<Integer> init = new LinkedList<Integer>();
init.add(1);
perms.add(init);
}
else {
createPerm(n-1);
// 对每一个 n-1 的排列P(n-1), 将 n 插入到该排列 P(n-1) 的 n 个可能位置上，
// 即可得到 n 个 相应的 n 元素排列 P(n)
int length = perms.size();
for (int i=0; i < length; i++) {
LinkedList<Integer> p = perms.get(i);
if (flag == 0) {
// flag = 0: 从左向右扫描插入
for (int j=0; j <= p.size(); j++) {
LinkedList<Integer> pcopy = copylist(p);
pcopy.add(j, n);
perms.add(pcopy);
flag = 1;
}
}
else {
// flag = 1: 从右向左扫描插入
for (int j=p.size(); j >=0; j--) {
LinkedList<Integer> pcopy = copylist(p);
pcopy.add(j, n);
perms.add(pcopy);
flag = 0;
}
}
}
// 删除所有的 P(n-1) 排列
for (int i=0; i < length; i++) {
perms.remove(0);
}
}
}
/** 获取 n 个元素的全排列 */
public ArrayList<LinkedList<Integer>> getPerm(int n) {
createPerm(n);
return perms;
}
/** 复制 list 的元素到另一个列表， 并返回该列表 */
private LinkedList<Integer> copylist(LinkedList<Integer> list) {
LinkedList<Integer> copylist = new LinkedList<Integer>();
Iterator iter = list.iterator();
while (iter.hasNext()) {
Integer i = (Integer) iter.next();
copylist.add(i);
}
return copylist;
}
}
（二） 生成给定集合 {1,2,…,n} 的幂集，即给定自然数3，要生成其幂集： { {0}, {1}, {2}, {1,2}, {3}, {1,3},{2,3},{1,2,3} }
算法描述：
使用减一技术，建立问题实例P(n)与问题实例P(n-1)的递推求解关系。若P(n-1)是问题实例n-1的幂集，则问题实例n的幂集通过如下方式得到： powerset(n) = powerset(n-1) + powerset(n-1)∪ {n} ，即，对于n-1的幂集的每一个集合与{n}求并集，然后将得到的集合与n-1的幂集求并集。例如 {1} 的幂集为 {{0}, {1}} ，则 {1,2} 的幂集为 { {2} {1,2}, {0}, {1} } ，其中 {0} 表示空集， {0} ∪ {n} = {n}
详细设计：
1、 输入： 自然数 n
2、 输出： {1,2,..,n}的幂集，每一个子集使用一个LinkedList来表示，幂集使用LinkedList的可变列表ArrayList来表示和存储。
Java代码实现：
package algorithm.permutation;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Iterator;
import java.util.LinkedList;
/**
* PowerSet
* Generate all the subsets of a given set.
*
* 生成给定集合的所有子集。
*
*/
public class PowerSet {
/**
* 每一个子集使用一个 LinkedList<Integer> 来存储,
* 使用 LinkedList<Integer> 的 列表来存储所有的子集
*
*/
private ArrayList<LinkedList<Integer>> powerset;
/** 构造器 */
public PowerSet() {
if (powerset == null)
powerset = new ArrayList<LinkedList<Integer>>();
}
/** 生成 {1,2,3,……, n} 的 幂集 */
private void createPowerset(int n) {
if (n < 0)
throw new IllegalArgumentException();
if (n == 0) {
LinkedList<Integer> empty = new LinkedList<Integer>();
powerset.add(empty);
}
if (n == 1) {
LinkedList<Integer> empty = new LinkedList<Integer>();
LinkedList<Integer> init = new LinkedList<Integer>();
init.add(1);
powerset.add(empty);
powerset.add(init);
}
else {
createPowerset(n-1);
// powerset(n) = powerset(n-1) + powerset(n-1)∪ {n}
int length = powerset.size();
for (int i=0; i < length; i++) {
LinkedList<Integer> p = powerset.get(i);
LinkedList<Integer> pcopy = copylist(p);
pcopy.add(p.size(), n);
powerset.add(pcopy);
}
}
}
/** 获取 n 个元素集合的幂集 */
public ArrayList<LinkedList<Integer>> getPowerset(int n) {
createPowerset(n);
return powerset;
}
/** 复制 list 的元素到另一个列表， 并返回该列表 */
private LinkedList<Integer> copylist(LinkedList<Integer> list) {
LinkedList<Integer> copylist = new LinkedList<Integer>();
Iterator iter = list.iterator();
while (iter.hasNext()) {
Integer i = (Integer) iter.next();
copylist.add(i);
}
return copylist;
}
}
算法分析：
减一技术的时间复杂度通常是: T(n) = T(n-1) + G(n) .
① 若 G(n) 为常数，则 T(n) = O(n) ; （连续子数组的最大和）
② 若 G(n) 为 O(logn)， 则 T(n) = O(nlogn) ； （堆排序）
③ 若 G(n) = an+b(a!=0) ，则 T(n) = O(n^2) . （插入排序）
因此， 当 G(n) 为常数或对数时， 减一技术是比较高效的。