摘要： 使用位图技术实现N个互不相等的数的排序。分别使用Java和C实现。
难度： 初级
1、 问题描述
给定不大于整数 n 的 k 个互不相等的整数 ( k <n ) ， 对这些整数进行排序。本文讨论的内容具体可参见《编程珠玑》（第二版）的第一章。
2、 问题分析
关于排序，已经有多种排序方法了：插入排序，归并排序，快速排序，希尔排序等。每种排序都有不同的用武之地。为什么需要位图排序呢？所有的内部排序（上述所提及）都必须一次性将所有排序元素载入内存。假如有1000,000个整数，每个整数4字节，则意味着，至少需要4000,000B 约为 4MB 的内存空间， 如果仅仅只有 1MB 的内存空间可用，那么，应该怎么办呢？
很多问题都有通用的求解策略，而在通用之外，常常需要根据问题的实际需求及特征挖掘有针对性的解决方案。这里的特征是，所有整数均不大于 n , 并且整数互不重复。怎么利用这一特征呢？
可以采用位图技术。所谓位图技术，就是将问题映射到位串上，对位串进行处理后，再将位串逆射到问题空间上。具体而言， 假设要对数组 不大于 20 的元素数组 [5, 2, 12, 18, 7, 9, 13, 19, 16, 4, 6] 进行排序， 则可以将其映射到位串 11010011001001110100 ，其中， 1 表示数组元素出现的位置（最高位在后面，最低位在左边，以下标0起头），然后，从低位往高位扫描， 即可得到 { 2, 4, 5, 6, 9, 12,13,16,18,19} 这样就排序好了。根据位图技术， 1000,000 个互不重复的整数数组的排序， 只需要大约 1000,000 b = 0.125MB 内存空间。
3. 详细设计
[ 1 ] 输入： 一个未排序的数组， 数组中的各数互不相等， 都不大于某个整数 n , 且稠密地分布在[0, n-1] 的区间中
[ 2 ] 输出： 一个已排序的数组
[ 3 ] 数据结构： 位向量。 位图排序的关键在于位向量的实现。位向量有“置一”、“清零”、“测试位是否为1”等操作。从实现角度，可以使用一个整型数组来实现（因为在Java中，移位、按位运算都是以整数为基本单位），这意味着，每32位为一组。 位向量长度最好取为 32 的倍数， 以方便编程。 假设有 64位， 那么对第59位置1, 59/32 = 1 ， 59 %32 = 27；这意味着，需要对第1组 a[1] 的第 27 位进行置位。 除以32 可使用 右移 5 位 （ i >> 5） 来实现， 对 32 取模， 可以通过 1 << ( i & 0x1f ) 来实现。 剩下的，就是细节问题了，比如，确保边界不出错。位串方向规定为： a[p]a[p-1]…a[1]a[0] , p = N / 32; N 为不小于 n 的 32 倍数的最小整数。 a[p] 为最高位的32位， a[0] 为最低位的32位。
4. 算法描述
STEP1： 根据问题描述确定位向量的位数， 初始化位向量bv；
STEP2： 对于数组的每一个元素，用其数值作为位置，对位向量的相应位置 1；
STEP3： 从低位向高位扫描，对位向量的每一位，若位为1, 则输出该位的位置下标，作为最终排序数组的元素值。
5. Java 代码实现
package zzz.study.datastructure.vector;
/**
* 实现 n 维位向量
*
*/
public class NBitsVector {
private static final int BITS_PER_INT = 32;
private static final int SHIFT = 5;
// 将一个整型数组中的所有整数的位串联成一个位向量
private int[] bitsVector;
// 位向量的总位数
private long bitsLength;
public NBitsVector(int n) {
int i = 1;
// 考虑到左移位可能导致溢出, 从而陷入死循环
while ((i<<SHIFT) > 0 && (i<<SHIFT) < n) {
i++;
}
this.bitsLength = i * (long)BITS_PER_INT;
if (bitsVector == null) {
bitsVector = new int[i];
}
}
/**
* setBit: 将位向量的第 i 位置一
* @param i 要置位的位置
*/
public void setBit(int i) {
bitsVector[i >> SHIFT] |= 1 << (i & 0x1f);
}
/**
* clrBit: 将位向量的第 i 位清零
* @param i 要清零的位置
*/
public void clrBit(int i) {
bitsVector[i >> SHIFT] &= ~(1 << (i & 0x1f));
}
/**
* testBit: 测试位向量的第 i 位是否为 1
* @param i 测试位的位置
* @return 若位向量的第 i 位为 1, 则返回true, 否则返回 false
*/
public boolean testBit(int i) {
return (bitsVector[i >> SHIFT] & 1 << (i & 0x1f)) != 0;
}
/**
* clr: 位向量全部清零
*/
public void clr() {
int vecLen = bitsVector.length;
for (int i = 0; i < vecLen; i++) {
bitsVector[i] = 0;
}
}
/**
* getBitsLength: 获取位向量的总位数
*/
public long getBitsLength() {
return bitsLength;
}
/**
* 获取给定整数 i 的二进制表示， 若高位若不为 1 则补零。
* @param i 给定整数 i
*/
public String intToBinaryStringWithHighZero(int i) {
String basicResult = Integer.toBinaryString(i);
int bitsForZero = BITS_PER_INT - basicResult.length();
StringBuilder sb = new StringBuilder("");
while (bitsForZero-- > 0) {
sb.append('0');
}
sb.append(basicResult);
return sb.toString();
}
public String toString() {
StringBuilder sb = new StringBuilder("");
for (int i = bitsVector.length-1; i >=0 ; i--) {
sb.append(intToBinaryStringWithHighZero(bitsVector[i]));
sb.append(" ");
}
return sb.toString();
}
public static void main(String[] args)
{
NBitsVector nbitsVector = new NBitsVector(64);
nbitsVector.setBit(2);
System.out.println(nbitsVector);
nbitsVector.setBit(7);
nbitsVector.setBit(18);
nbitsVector.setBit(25);
nbitsVector.setBit(36);
nbitsVector.setBit(49);
nbitsVector.setBit(52);
nbitsVector.setBit(63);
System.out.println(nbitsVector);
nbitsVector.clrBit(36);
nbitsVector.clrBit(35);
System.out.println(nbitsVector);
System.out.println("52: " + nbitsVector.testBit(52));
System.out.println("42: " + nbitsVector.testBit(42));
nbitsVector.clr();
System.out.println(nbitsVector);
}
}
package zzz.study.datastructure.vector;
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
/**
* 实现 n 维位向量 *** 增强版
* n 可以为相当大的数值, 使用整形数组的数组的所有位来串联成一个位数不小于 n 的位向量
*/
public class EnhancedBigNBitsVector {
private static final int BITS_PER_INT = 32;
private static final int INTS_PER_ARRAY = 1024;
private static final int BITS_PER_ARRAY = BITS_PER_INT * INTS_PER_ARRAY;
private static final int SHIFT = 5;
// 将一个整型数组的数组中的所有整数的位串联成一个位向量
private List<int[]> bitsVector;
// 位向量的总位数
private long bitsLength;
public EnhancedBigNBitsVector(long n) {
long intNums = (n % BITS_PER_INT == 0) ? (n / BITS_PER_INT) : (n / BITS_PER_INT + 1);
long arrNums = (intNums % INTS_PER_ARRAY == 0) ? (intNums / INTS_PER_ARRAY) : (intNums / INTS_PER_ARRAY + 1);
this.bitsLength = BITS_PER_INT * INTS_PER_ARRAY * arrNums;
if (bitsVector == null) {
bitsVector = new ArrayList<int[]>();
for (int i=0; i< arrNums; i++) {
bitsVector.add(new int[INTS_PER_ARRAY]);
}
}
}
/**
* setBit: 将位向量的第 i 位置一
*
* @param i 要置位的位置
*/
public void setBit(long i) {
int arrIndex = (int)(i / BITS_PER_ARRAY);
int intBits = (int)(i - arrIndex * BITS_PER_ARRAY);
int intIndex = intBits / BITS_PER_INT;
int[] arr = bitsVector.get(arrIndex);
arr[intIndex] |= 1 << (intBits & 0x1f);
}
/**
* clrBit: 将位向量的第 i 位清零
*
* @param i 要清零的位置
*/
public void clrBit(long i) {
int arrIndex = (int)(i / BITS_PER_ARRAY);
int intBits = (int)(i - arrIndex * BITS_PER_ARRAY);
int intIndex = intBits / BITS_PER_INT;
int[] arr = bitsVector.get(arrIndex);
arr[intIndex] &= ~(1 << (intBits & 0x1f));
}
/**
* testBit: 测试位向量的第 i 位是否为 1
*
* @param i 测试位的位置
* @return 若位向量的第 i 位为 1, 则返回true, 否则返回 false
*/
public boolean testBit(long i) {
int arrIndex = (int)(i / BITS_PER_ARRAY);
int intBits = (int)(i - arrIndex * BITS_PER_ARRAY);
int intIndex = intBits / BITS_PER_INT;
int[] arr = bitsVector.get(arrIndex);
return (arr[intIndex] & 1 << (intBits & 0x1f)) != 0;
}
/**
* clr: 位向量全部清零
*/
public void clr() {
int vecLen = bitsVector.size();
for (int i = 0; i < vecLen; i++) {
bitsVector.set(i, new int[INTS_PER_ARRAY]);
}
}
/**
* getBitsLength: 获取位向量的总位数
*/
public long getBitsLength() {
return bitsLength;
}
/**
* 返回位向量的表示
* @return 一个整数数组, 里面每个整数表示位出现的位置
*/
public List<Integer> expr() {
List<Integer> bitVectorExpr = new ArrayList<Integer>();
for (long i=0; i < bitsLength; i++) {
if (testBit((int)i)) {
bitVectorExpr.add((int)i);
}
}
return bitVectorExpr;
}
/**
* 获取给定整数 i 的二进制表示， 若高位若不为 1 则补零。
*
* @param i 给定整数 i
*/
public String intToBinaryStringWithHighZero(int i) {
String basicResult = Integer.toBinaryString(i);
int bitsForZero = BITS_PER_INT - basicResult.length();
StringBuilder sb = new StringBuilder("");
while (bitsForZero-- > 0) {
sb.append('0');
}
sb.append(basicResult);
return sb.toString();
}
public String toString() {
StringBuilder sb = new StringBuilder("");
for (int i=bitsVector.size()-1; i>=0; i--) {
int[] arr = bitsVector.get(i);
for (int j = arr.length - 1; j >= 0; j--) {
sb.append(intToBinaryStringWithHighZero(arr[j]));
}
}
return sb.toString();
}
public static void main(String[] args) {
EnhancedBigNBitsVector nbitsVector = new EnhancedBigNBitsVector(Integer.MAX_VALUE);
nbitsVector.setBit(2);
//System.out.println(nbitsVector);
nbitsVector.setBit(7);
nbitsVector.setBit(18);
nbitsVector.setBit(25);
nbitsVector.setBit(36);
nbitsVector.setBit(49);
nbitsVector.setBit(52);
nbitsVector.setBit(63);
//System.out.println(nbitsVector);
nbitsVector.clrBit(36);
nbitsVector.clrBit(35);
//System.out.println(nbitsVector);
System.out.println("52: " + nbitsVector.testBit(52));
System.out.println("42: " + nbitsVector.testBit(42));
System.out.println(nbitsVector.expr());
nbitsVector.clr();
//System.out.println(nbitsVector);
System.out.println(nbitsVector.expr());
}
}
package algorithm.sort;
import java.util.Arrays;
import datastructure.vector.NBitsVector;
/**
* 位图排序
*
*/
public class BitsMapSort {
private NBitsVector nBitsVector;
public BitsMapSort(int n) {
if (nBitsVector == null) {
nBitsVector = new NBitsVector(n);
}
}
public int[] sort(int[] arr) throws Exception {
if (arr == null || arr.length == 0) {
return null;
}
nBitsVector.clr();
int arrLen = arr.length;
for (int i=0; i < arrLen ; i++) {
if (arr[i] < 0 || arr[i] > nBitsVector.getBitsLength()-1) {
throw new Exception("给定整数 " + arr[i] + " 超过范围，请检查输入");
}
if (nBitsVector.testBit(arr[i])) {
throw new Exception("存在重复整数: " + arr[i] + " ，请检查输入！");
}
nBitsVector.setBit(arr[i]);
}
int bitsLength = nBitsVector.getBitsLength();
int count = 0;
for (int i=0; i < bitsLength; i++) {
if (nBitsVector.testBit(i)) {
arr[count++] = i;
}
}
return arr;
}
public static int maxOfArray(int[] arr)
{
int max = arr[0];
for (int i=1; i < arr.length; i++) {
if (arr[i] > max) {
max = arr[i];
}
}
return max;
}
public static void test(int[] arr)
{
try {
// 63 可以改为 数组最大值 maxOfArray(arr)
BitsMapSort bms = new BitsMapSort(64);
System.out.println("排序前： " + Arrays.toString(arr));
int[] sorted = bms.sort(arr);
System.out.println("排序后： " + Arrays.toString(sorted));
}
catch(Exception e) {
System.out.println(e.getMessage());
}
}
public static void main(String[] args)
{
int[] empty = null;
test(empty);
empty = new int[0];
test(empty);
int[] unsorted = new int[] { 15, 34, 46, 52, 7, 9, 5, 10, 25, 37, 48, 13};
test(unsorted);
int[] unsorted2 = new int[] { 15, 34, 46, 52, 7, 9, 5, 7, 25, 37, 48, 13};
test(unsorted2);
int[] unsorted3 = new int[] { 15, 34, 46, 52, 7, 9, 5, 72, 25, 37, 48, 13};
test(unsorted3);
}
}
6. C 源程序：
/*
* bitvec.c : N维位向量的实现
* author: shuqin1984 2011-08-31
*/
#include <assert.h>
#define N 10000000
#define M ((N%32==0) ? (N/32) : (N/32+1))
#define SHIFT 5
#define mod32(n) ((n) - (((n) >> SHIFT) << SHIFT))
int bitvec[M]; // N维位向量用 M个整数的数组来实现
int test(int i); // 测试位向量的位 i 是否为 1
void set(int i); // 将位向量第 i 位置 1
void clear(int i); // 将位向量第 i 位清零
void clearAll(); // 将位向量所有位清零
void show(); // 显示位向量的当前值
void printb(int x, int i); // 打印正整数 x 的第 i 位二进制
void printbz(int x, int n); // 打印正整数的二进制表示(从低位数起的n位)，若位数不够前面补零
int test(int i)
{
assert(i >= 0);
return (bitvec[i>>SHIFT] & (1 << mod32(i))) != 0;
}
void set(int i)
{
assert(i >= 0);
bitvec[i>>SHIFT] |= (1 << mod32(i));
}
void clear(int i)
{
assert(i >= 0);
bitvec[i>>SHIFT] &= ~(1 << mod32(i));
}
void clearAll()
{
int i;
for (i = 0; i < M; i++) {
bitvec[i] = 0;
}
}
void show()
{
int i = 0;
if (M == 1) {
printbz(bitvec[i], N);
}
else {
int bits = (N%32==0)? 32: (N%32);
printbz(bitvec[M-1], bits);
for (i=M-2; i >=0 ; i--) {
printbz(bitvec[i], 32);
}
}
printf("\n");
}
void printb(int x, int i)
{
printf("%c", '0' + ((((unsigned)x) & (1 << i)) >> i));
}
void printbz(int x, int n)
{
int i;
for (i = n-1; i >= 0; i--) {
printb(x, i);
}
}
/*
* bitsort.c: 实现位图排序并测量运行时间
* author: shuqin1984 2011-8-31
*/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
#include <assert.h>
#include <limits.h>
#include "bitvec.c"
#define MAX_LEN 10
void bitsort(char* filename);
void bitsortf();
void runtime(void (*f)());
void testdata(int, int);
int randRange(int low, int high);
int main()
{
srand(time(0));
printf("sizeof(int) = %d\n", sizeof(int));
printf("RAND_MAX = %d\n", RAND_MAX);
printf("INT_MAX = %d\n", RAND_MAX);
runtime(bitsortf);
getchar();
return 0;
}
/*
* 从指定文件名中读取数据，并进行排序，最后将排序后的数据写入 output.txt 中
*/
void bitsort(char* filename)
{
int i;
char buf[MAX_LEN];
FILE* fin = fopen(filename, "r");
if (fin == NULL) {
fprintf(stderr, "can't open file: %s", filename);
exit(1);
}
while (fgets(buf, MAX_LEN, fin)) {
set(atoi(buf));
}
fclose(fin);
// show();
FILE* fout = fopen("output.txt", "w");
if (fout == NULL) {
fprintf(stderr, "can't open file: %s", "output.txt");
exit(1);
}
for (i = 0; i < N; i++) {
if (test(i)) {
fprintf(fout, "%d\n", i);
}
}
fclose(fout);
printf("---------- sort successfully ---------------");
printf("\n");
}
void bitsortf()
{
bitsort("data.txt");
}
void runtime(void (*f)())
{
printf("runtime ... \n");
int scale = 10;
while (scale <= N) {
testdata(scale, N);
clock_t start = clock();
(*f)();
clock_t end = clock();
printf("scale: %d\t cost : %8.4f\n", scale, (double)(end-start)/CLOCKS_PER_SEC);
printf("---------------------------------------------------");
printf("\n");
scale *= 10;
}
}
/*
* 创建测试数据：选出不大于 max 的 num 个正整数，并写入文件 data.txt 中
*/
void testdata(int num, int max)
{
int i;
assert(num <= max);
FILE* fout = fopen("data.txt", "w");
if (fout == NULL) {
fprintf(stderr, "can't open file: %s", "data.txt");
exit(1);
}
for (i = 0; i < num; i++) {
fprintf(fout, "%d\n", (rand()*rand()) % max);
}
fclose(fout);
printf("---------- testdata successfully ---------------");
printf("\n");
}
/*
* randRange: 生成给定范围的随机整数
*/
int randRange(int low, int high)
{
assert (high <= low) ;
return rand() % (high-low) + low;
}
7. 额外说明
位图技术，可以说是一种非常有效的求解技术，在文件管理中就有应用到， 其作用类似于二分搜索技术。位图技术还能检测重复整数，缺失整数，比如在 43亿多个不大于2^32的随机整数排列中寻找一个重复整数（根据抽屉原理知必然存在）。在读书时，不仅要汲取问题的求解方案，还要领悟背后的通用技术。
如果问题不是对整数数组排序，而是对一系列记录排序，怎么利用已有算法呢？ 可以通过某种函数对记录的关键字进行计算，得到互不重复的整数（这个过程类似于散列法），然后，使用位图技术对整数数组进行排序。